22.10.2006

Системы счисления

Знакомимся с видами систем счисления. Учимся переводить числа из одной системы счисления в другую.

Цели: Познакомить учащихся с видами систем счисления. Научить учащихся переводить числа из одной системы счисления в другую.

Опорные понятия:

  • Код
  • Кодирование
  • Декодирование

Новые понятия:

  • Позиционная и непозиционная системы счисления.
  • Основание системы счисления.
  • Двоичный, восьмеричный и шестнадцатеричный коды чисел.

Задачи учителя:

  1. обсудить разнообразие систем счисления;
  2. показать на примерах перевод чисел из любой позиционной системы в десятичную;
  3. объяснить алгоритм перевода чисел из десятеричной системы в другие позиционные;
  4. показать «родственность» двоичной, восьмиричной и шестнадцатеричной систем и научить переводу в эти системы счисления.

Тип урока: комбинированный.

Ход урока.

Оргмомент. Тема, цели, задачи на урок.

Актуализация опорных знаний.

Фронтальный опрос по предыдущим темам «Формы представления информации» и «Кодирование»

  1. В чем измеряют информацию?  
  2. Сколько необходимо бит чтобы закодировать 16 цветов?
  3. Что такое кодирование?
  4. При помощи одного байта сколько можно получить разных двоичных кодовых комбинаций? 

Тесты на компьютере – 5 человек

Телевизоры – 3 человека

Новый материал.

Определение системы счисления — совокупность приемов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов.  

ДИАЛОГ

  1. Вопрос: Какая система счисления используется повсеместно в наше время? Ответ:   Десятичная.
  2. Вопрос: Сколько цифр в десятичной системе? Ответ:   Десять  
  3. Вопрос: Какие это цифры? Ответ:   Цифры от 0 до 9.
  4. Вопрос: Меняется ли десятичное числа, если переставить в нем цифры? Ответ:   Да, меняется

Для записи чисел могут использоваться не только цифры, но и буквы. Одно и то же число может быть по-разному представлено в различных сис­темах счисления.

В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. 

В непозиционной системе счисления цифры не изменяют своего ко­личественного значения при изменении их расположения (позиции) в числе. Примером непозиционной системы может служить римская система, в которой независимо от местоположения одинаковый сим­вол имеет неизменное значение (например, символ Х в числе XXV), в которой «вес» числа не зависит от порядка расположения символов в числе.

 (1 -- I, 5 -- V, 10 -- X, 50 -- L, 100 -- C, 500 -- D, 1000 -- M).

В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее позиции (места) в числе. Например, число 444 записано тремя одинаковыми цифрами, но каждая из них имеет свое значение: четыре сотни, четыре десятка и четыре единицы. То есть его можно записать вот так:

444 = 4.100 + 4.10 + 4.1.или 444 = 4.102 + 4.101 + 4.100.

Число 10, степени которого используются в этой формуле (а именно столько разных цифр есть в десятичной системе)  называют основанием системы счисления, а степени десятки -- весами разрядов.

Значение каждой цифры (ее “вес”) зависит от ее места (позиции) при написании числа. Положение (позиция) цифры в записи числа определяет ее разряд; если в числе отсутствует какой-либо разряд, то в записи числа на его место ставят цифру 0. Мы знаем, что 10 единиц любого разряда образуют новую единицу старшего разряда. Число 10 называется основанием десятичной системы счисления. С его помощью определяется “вес” единицы каждого разряда.

Основание позиционной системы счисления определяет количество различных символов, допустимое в системе счисления.

Например, число 492 – трехразрядное, и в нем 2 – цифра разряда единиц, 9 – цифра разряда десятков, 4 – цифра разряда сотен. В вычислительной  технике широко применяют двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.

двоичная система счисления (р = 2),  цифр 0 и 1.

восьмеричной (р = 8), — 0, 1, 2... 7;

шестнадцатеричной (р = 16),  — О, 1, 2... 9 и буквы — А, В, С, D, Е, Г, заменяющие числа 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно).

В общем случае любое число N в позиционной системе счисления можно представить в виде:

N = ak*pk+ak-1*pk-1+…+a1*p1+a0*p0+a-1*p-1+…+a-n*p-n.
Где  ak- k-я цифра целой части числа N, записанного в системе счисления с основанием p.
a-n - n –я цифра дробной части числа N, записанного с основанием p.
k+1 – количество разрядов в целой части числа N.
n – Количество разрядов в дробной части числа N.

Пользуясь этой формулой можно легко перевести число из системы счисления с любым основанием в десятичную.

Пример: 325426 = 3.64 +2.63 + 5.62 + 4.61 + 2.60 = 3.1296 + 2.216 + 5.36 + 4.6 + 2 = 3888 + 432 + 180 + 24 + 2 = 4526

Решить на доске: 

517(8) =335(10)
10521(8) = 4433(10)
10011010(2) = 154(10).

Алгоритм  перевода целых чисел из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием g.

  1. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы деления до тех пор, пока не получим, частное, меньшее делителя. (Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления).
  2. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

Пример:

Перевести десятичное число N == 11 (р = 10) в двоичную систему счис­ления (р = 2).

2000 : 8 = 250 (ост. 0)
250 : 8 = 31 (ост. 2)
31 : 8 = 3 (ост. 7)
3 : 8 = 0 (ост. 3)
1011(2) = 11(10)                       2000(10) = 3720(8)

Закрепление:

23(10) =  (2)
168 (10) =  (8)
216 (8) =  10001110(2)

Д/з перевести из десятичной в двоичную 231, 545; из двоичной в десятичную  1001, 11101.

Оценивание:За тесты получили оценки …..

За карточки проверю и на следующем уроке выставлю.

Конец урока.

Дополнительно:

Умножение продолжается до получения нулей в дробной части.

Ответ: 1001 0110,11.

Фамилия Имя

Класс 

  1. Какие формы представления информации вы знаете?
  2. Сколько бит содержит слово «Компьютер»? Обосновать.
  3. Сколько бит содержит черно-белое изображение 100*100 точек? Обосновать.

Карточка

40610 = …………..2                110112= …….10

20510 = ………….2                          1100112 = ……10

13410 = ………….2               100112 = …….10

Фамилия Имя      

Класс

  1. Какие формы представления информации вы знаете?
  2. Сколько бит содержит слово «Компьютер»? Обосновать.
  3. Сколько бит содержит черно-белое изображение 100*100 точек? Обосновать.

Карточка

40610 = …………..2                110112= …….10

20510 = ………….2                          1100112 = ……10

13410 = ………….2               100112 = …….10